万考题-全国中小学题库

题型	全部单选题多选题判断题填空题解答题综合题
难度	全部简单中等困难
年份	全部 2022 2021 2020 2019 2018 更早

1．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ， $\text{[math]}$ ＝n，我们将这种变换记作：[θ，n]．

如图①，对△ABC作变换[60°， $\text{[math]}$ ]得△AB′C′，则S_△AB′C′：S_△ABC＝；

直线BC与直线B′C′所夹的锐角为；

如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一条直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值．

如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使得点B、C、B′在同一条直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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2． M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C′PB′，当射线PC′经过点D时，射线PB′与BC交于点N．

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难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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3．如图

探索：如图①，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过O作AB、AD边垂线，垂足分别为点E、F，将矩形AEOF绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤180°），连接BG、DM，求证：△BAG∽△DAM；

发现：如图②，已知矩形ABCD中AB＝6，AD＝4，在矩形ABOF旋转过程中，连接DG、BM、GM，则四边形BDGM的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理由．

应用：如图③，直线m∥直线n，且平行线间距离为3，直线n上有线段AB，始终保持AB＝2，点C是直线m上动点，连接AC，以AC为边，在AC左侧作矩形ACDE，使得边CD与边AC的比为 $\text{[math]}$ ，连接DB，求DB的最小值．

难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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4．在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tanC＝3，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD．

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难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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5．如图

如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝2，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，DE，DF或它们的延长线分别交BC（或它的延长线）于G，H点，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．

问题发现：当0°＜α＜45°时，如图2，可得∠H＝45°﹣∠CAH＝∠GAC．这时与△AGC相似的三角形有及；

类比探究：当45°＜α＜90°时，如图3，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请选取一种情况说明理由；

问题解决：当△AGH是等腰三角形时，直接写出CG的长．

难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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6．如图

如图①，已知DE∥BC，AD＝EC，BD═ $\text{[math]}$ AD，AC＝6，求AB的长．

将图1中的△ADE绕点A旋转一定的角度，使B、D、E在一条直线上，且直线BE交AC于点F，连接CE（如图②）．求证：AF•FC＝BF•EF．

若将图①中的△ADE绕点旋转∠α，使B、D、E不在一条直线上（如图③）．若AB＝BC，AC＝BD．连接CE．求证：AC²＝BC•EC．

难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ＝2PC，连接PQ交线段AE于点M．

AQ＝，△APQ为等边三角形；

是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由；

AQ＝，B、P、Q三点共线．

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8．等腰Rt△PAB中，∠PAB＝90°，点C是AB上一点（与A、B不重合），连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°，得到线段DC．连接PD，BD．探究∠PBD的度数，以及线段AB与BD、BC的数量关系．

尝试探究：如图（1），点C在线段AB上，

∵△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD＝90°，∴∠CPD＝45°＝∠APB，

∴∠CPD﹣∠BPC＝∠APB﹣∠BPC，即∠BPD＝∠APC，

又∵ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴△PAC∽△PBD，相似比为 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．

∴∠PBD＝；AB＝BC+AC＝．

类比探索：如图（2），点C在直线AB上，且在点B右侧，还能得出与（1）中同样的结论么？请写出你得到的结论并证明

拓展迁移：如图（3），点C在直线AB上，且在点A左侧，请补充完成图形，并直接写出你得到的结论（不需要证明）

难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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9．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α（α为锐角）．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，设OM＝x，ON＝y（y＞x≥0），△AOM的面积为s，且cosα，OA是方程2z²﹣21z+10＝0的两根．

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难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题

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10．在数学课上，老师要求学生探究如下问题：

如图1，在等边三角形ABC内有一点P，PA＝2，PB＝ $\text{[math]}$ ，PC＝1，试求∠BPC的度数．

李明同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP'，易得△P′PB是正三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPC＝；

如图3，在正方形ABCD内有一点P，PA＝ $\text{[math]}$ ，PB＝ $\text{[math]}$ ，PC＝1，试求∠BPC的度数．

在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA＝a，QB＝b，QC＝c（a＞b，a＞c），试猜想当a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论．

难度：中等题型:常考题来源：浙教版2019中考数学复习专题之四边形综合题

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