万考题-全国中小学题库

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1．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，给出如下的定义：

将过点 $\text{[math]}$ 的直线记为 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“穿越距离”，记作 $\text{[math]}$ ．

例如，已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图所示，则 $\text{[math]}$ ．

请解决下面的问题：

已知 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 时，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ _ ▲ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ▲ ；

②若 $\text{[math]}$ ，结合图象，求 $\text{[math]}$ 的值；

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为过点 $\text{[math]}$ 的直线，若 $\text{[math]}$ 有最大值，且最大值为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

难度：困难题型:常考题来源：北京市第八中学2021-2022学年九年级上学期数学开学考试试卷

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2．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

求一次函数解析式；

当 $\text{[math]}$ 时，对于 $\text{[math]}$ 的每一个值，函数 $\text{[math]}$ 的值大于一次函数 $\text{[math]}$ 的值，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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3．如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

求 $\text{[math]}$ 的长．

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4．正方形 $\text{[math]}$ 中，点P是边 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，作 $\text{[math]}$ 于E，连接 $\text{[math]}$ ．

若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

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5．如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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6．如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点被池塘隔开，在 $\text{[math]}$ 外选一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．分别取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ．

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7．如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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8．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，且经过点 $\text{[math]}$ ．

求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

已知直线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

结合图象回答：

①若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的上方时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的上方，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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9．在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，并截取 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 同侧），连接 $\text{[math]}$ ．

如图1，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明；

如图2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

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10．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：

在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；

在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

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