如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；

如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．

①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；

②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．

探索延伸：

如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；

实际应用：

如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF=70°时，两舰艇之间的距离是海里．

能力提高：

如图④，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为．

将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．

①依题意补全图1；

②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：

AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：

想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．

想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．

…

请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）

如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．

如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；

小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；

想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；

想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°．

…

请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点．（一种方法即可）

如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求 的值．

u2460u4f9du9898u610fu5c06u56fe2u8865u5168uff1b

u2461u5c0fu4eacu901au8fc7u89c2u5bdfu3001u5b9eu9a8cu63d0u51fau731cu60f3uff1au5728u70b9Eu8fd0u52a8u7684u8fc7u7a0bu4e2duff0cu59cbu7ec8u6709AE=PEuff0eu5c0fu4eacu628au8fd9u4e2au731cu60f3u4e0eu540cu5b66u4eecu8fdbu884cu4ea4u6d41uff0cu901au8fc7u8ba8u8bbauff0cu5f62u6210u4e86u8bc1u660eu8be5u731cu60f3u7684u4e09u79cdu60f3u6cd5uff1a

u60f3u6cd51uff1au5728ABu4e0au622au53d6AG=ECuff0cu8fdeu63a5EGuff0cu8981u8bc1AE=PEuff0cu9700u8bc1u25b3AGEu224cu25b3ECPuff0e

u60f3u6cd52uff1au4f5cu70b9Au5173u4e8eBCu7684u5bf9u79f0u70b9Huff0cu8fdeu63a5BHuff0cCHuff0cEHuff0eu8981u8bc1AE=PEuff0cu9700u8bc1u25b3EHPu4e3au7b49u8170u4e09u89d2u5f62uff0e

u60f3u6cd53uff1au5c06u7ebfu6bb5BEu7ed5u70b9Bu987au65f6u9488u65cbu8f6c90u00b0uff0cu5f97u5230u7ebfu6bb5BMuff0cu8fdeu63a5CMuff0cEMuff0cu8981u8bc1AE=PEuff0cu9700u8bc1u56dbu8fb9u5f62MCPEu4e3au5e73u884cu56dbu8fb9u5f62uff0e

u8bf7u4f60u53c2u8003u4e0au9762u7684u60f3u6cd5uff0cu5e2eu52a9u5c0fu4eacu8bc1u660eAE=PEuff0euff08u4e00u79cdu65b9u6cd5u5373u53efuff09

如图1，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形；

如图2，当α=45°时，求证：① = ；②CE⊥DE．

如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系是： =．

若AB=4，AF=1，且设AE=n，

①当FG∥AB时，求n的值；

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．