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已知：直线AB及直线AB外一点P ．
求作：直线AB上一点C ， 使得∠PCB＝30°．
作法：
①在直线AB上取一点M；
②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；
③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q ．
④连接PQ ， 交AB于点O ．
⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．
根据小方设计的尺规作图过程，
证明：∵PM＝PN＝QM＝QN ，
∴四边形PMQN是 ▲ ．
∴PQ⊥MN ， PQ＝2PO（ ▲ ）．（填写推理依据）
∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝ ＝ ▲ （填写数值）
∴∠PCB＝30°．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下：如图， （1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点； （2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是，
已知： 中， ．
求作： ，使得 ．
作法：如图，
①分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于 、 点，作直线 ；
②分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于 、 点，作直线 ， 和 交于点 ；
③连接 和 ；
④以点 为圆心， 的长为半径作 ．
所以 ．
根据小菲设计的尺规作图过程．
证明：连接
∵ 和 分别为 、 的垂直平分线，
∴ ．
∴ 是 的外接圆．
∵点 是 上的一点，
∴ ．（）．（填推理的依据）
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